a171. Q_3_14 線性函數 (@@)

Content

有N線性函數$f_i(x)=a_ix+b_i$，$1 \leq i \leq N$。定義$F(x) = \displaystyle\max_i f_i(x)$。輸入$c[i]$, $1 \leq i \leq m$，請計算$\displaystyle\sum^{m}_{i=1}F(c[i])$。

Input

第一行是N與m。接下來有N行，依序每行兩個整數ai與bi，最後一行有m個整數c[1], c[2], …, c[m]。每一行的相鄰數字間以空白隔開。N≤1e5，m≤5e4，輸入整數絕對值不超過1e7，答案不超過1e15。

Output

計算結果。

Sample Input #1

4 5
-1 0
1 0
-2 -3
2 -3
4 -5 -1 0 2

Sample Output #1

測資資訊：

記憶體限制： 512 MB
公開測資點#0 (20%): 1.0s , <1M
公開測資點#1 (20%): 1.0s , <1M
公開測資點#2 (20%): 1.0s , <10M
公開測資點#3 (20%): 1.0s , <10M
公開測資點#4 (20%): 1.0s , <10M

Hint ：

給N個線性函數(一次函數)，另外定義F是這些函數的最大值，現在給m個x值，要計算F在這些點的函數值總和，也就是對每一個x值，要計算這些線性函數的最大值。直接的做法全部計算取最大，總共需要O(mn)，效率不佳。請看下圖。藍線是這些線性函數，紅線就是F，他必定會形成一個(向下)凸的形狀，而且是一段一段的，每一段都是原來的某個藍線(函數)，如果我們可以找出這個紅線，計算這些函數值就沒問題了。我們需要一個觀察：若f與g是兩個線性函數，f的斜率小於g，那麼，在兩線的交點以前是f大，以後是g大。我們可以將這些直線根據斜率排序，然後逐一將直線加入F。這一題另外也有分治的演算法可以做，在後續章節中會再出現。

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ch3

出處:

Prof.Wu [管理者： zero(管理員) ]

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